提要
平行線的判定及其性質是初中幾何的基本內容，是進一步研究幾何問題的基礎，難點主要有兩個方面：一個是“三線八角”識別，這是正確運用性質與判定的基礎；另一個是性質與判定的區分。
知識全解
一．平行線
（1）概念：在同一平面內，不相交的兩條直線稱為平行線，用符號“‖”表示，在同一平面，兩條直線的位置關系只有兩種：相交或平行。
（2）基本性質
①經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，即a‖b，c‖b，那么a‖c。
二．平行線的判定、
（1）同位角相等，兩直線平行。
（2）內錯角相等，兩直線平行。
（3）同旁內角互補，兩直線平行。
三．平行線的性質
（1）兩直線平行，同位角相等。
（2）兩直線平行，內錯角相等。
（3）兩直線平行，同旁內角互補。
提示：平行線的性質是兩直線平行以后才有角之間的關系，而平行線的判定是在已知某些角之間的關系條件下，得到兩直線平行的結構。為了有效區分性質與判定，可記住下列口訣：“已知平行用性質，要證平行用判定”。
方法點撥
類型1 判定兩條直線位置關系
例1 如果所示，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35度，∠2=55度，AB與CD平行嗎
【分析】由PE與PF分別為角平分線，得到兩對角相等，根據∠1與∠2的度數，求出∠BEF與∠EFD的度數之和為180度，利用同旁內角互補兩直線平行即可說明。
【解答】AB‖CD，理由如下：
∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35度，∠2=55度
∴∠1=∠BEP=1/2∠BEF，∠2=∠PFD=1/2∠EFD
∴∠BEF=70度，∠EFD=110度，即∠BEF ∠EFD=180度
∴AB‖CD
【點評】解答這一類問題的關鍵是將條件轉化為同旁內角，再判定。
類型2 判定角度之間的關系
例2 如圖所示
E在直線DF上，B在直線AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D,試判斷∠A與∠F的關系，并說明理由
【分析】因為∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF，所有∠DGF=∠EHF，則BD‖CE，∠C=∠ABD，又因為∠C=∠D，所有DF‖AC，，所以DF‖AC，故∠A=∠F
【解答】∠A=∠F，理由如下
∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF
∴∠DGF=∠EHF
∴BD‖CE
∴∠C=∠ABD
又∵∠C=∠D
∴∠D=∠ABD
∴DF‖AC
∴∠A=∠F
【點評】解答這類問題可采用兩種思考方式，一種是根據條件逐步推出結論，另一種是根據結論逆向思考，尋求解答所需的條件，再結合已知條件解答。
類型3 添加平行線求角度
例3 如圖所示，
AB‖EF，BC⊥CD于C，∠ABC=30度，∠DEF=45度，則∠CDE等于（）
A.105度 B.75度 C.135度 D.115度
【分析】本題的條件中雖然給出了平行線與垂直，還給出了兩個具體角的大小，但與要求的角無直接關系，可考慮添加平行線將問題轉化，過點C和D作平行線，將要求的角轉化到兩個已知角中。
【解答】過點C作CM‖AB，過點D作DN‖AB
又∵AB‖EF
∴AB‖CM‖DN‖EF
∵AB‖CM，∠ABC=30度，則∠BCM=30度
又∵BC⊥CD，則∠BCD=90度
∴∠MCD=∠BCD-∠BCM=90-30=60度
∵CM‖DN
∴∠MCD=1=60度
∵DN‖EF
∴∠DEF=∠2=45度，即∠CDE=∠1 ∠2=60 45=105度
故選A
【點評】熟練掌握平行線的條件和特征，并能靈活運用是求解本題的關鍵，充分運用條件，及時利用輔助線將問題轉化是正確求解的前提。對于兩條平行線間“折線”與“拐角”問題，一般是在拐點處作平行線，從而構造出一些相等的角或互補的角，將問題轉化。
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